Wykład „Impossibility results in dynamical systems” dotyczył pytania, które w matematyce pojawia się bardzo często: czy dla danej klasy obiektów można znaleźć prosty sposób rozstrzygania, kiedy dwa z nich są w istocie takie same? W klasycznych przypadkach rolę takiego kryterium pełni na przykład rodzaj powierzchni, postać Jordana macierzy czy entropia układu.

W przypadku bardziej złożonych układów dynamicznych sytuacja może wyglądać zupełnie inaczej. Jednym z głównych tematów wykładu były wyniki pokazujące, że niektórych takich obiektów nie da się sklasyfikować za pomocą konkretnego niezmiennika czy innego prostego kryterium. Warto przy tym zauważyć, że w nagrodzonym wyniku wykorzystano twierdzenie o selektorach Czesława Rylla-Nardzewskiego. W drugiej części wykładu pojawił się również problem Rufusa Bowena dotyczący klasyfikacji układów symbolicznych posiadających własność specyfikacji – silną własność pozwalającą łączyć odpowiednio odległe fragmenty dynamiki. Okazuje się, że nawet w tej dobrze określonej klasie klasyfikacja za pomocą konkretnego niezmiennika pozostaje niemożliwa.

To właśnie ten rodzaj wyników dobrze pokazuje jedną z charakterystycznych cech współczesnej matematyki: czasem ważnym rezultatem nie jest znalezienie rozwiązania problemu, lecz precyzyjne wykazanie, że określony sposób jego rozwiązania jest niemożliwy.

„Mathematical discovery in the age of AI” Bartosza Naskręckiego był poświęcony temu, jak sztuczna inteligencja zmienia sposób prowadzenia badań matematycznych – od formalizacji dowodów i ich komputerowej weryfikacji po automatyczne poszukiwanie rozwiązań i nowych problemów.

Jednym z ważnych tematów wykładu była formalizacja matematyki. Naskręcki pokazał, jak połączenie modeli językowych z systemami formalnego dowodzenia, takimi jak Lean, pozwala tworzyć pętlę, w której AI proponuje kolejne kroki rozumowania, a system formalny natychmiast sprawdza ich poprawność. Taka weryfikacja daje znacznie silniejszą gwarancję poprawności niż sam tekst wygenerowany przez model.

Jednocześnie pojawia się nowe wyzwanie: formalnie poprawny dowód nie musi być jeszcze dowodem, który człowiek rozumie. Możliwe staje się więc otrzymanie matematycznego rezultatu, którego poprawność można komputerowo potwierdzić, ale którego struktury i idei trudno człowiekowi odtworzyć. Formalizacja może być zatem nie tylko sposobem weryfikacji wyników, lecz także nowym środowiskiem współpracy matematyków i modeli AI.

Wykład pokazywał również różnicę między wykonywaniem matematycznych rozumowań a ich projektowaniem. Współczesne modele są coraz skuteczniejsze w wykonywaniu długich, powtarzalnych ciągów kroków potrzebnych do skonstruowania dowodu, natomiast znacznie trudniej przypisać im zdolność do samodzielnego formułowania właściwych pytań i nowych idei matematycznych. W tym kontekście szczególnego znaczenia nabiera rola matematyka jako osoby, która potrafi dostrzec problem, nadać mu odpowiednią strukturę i wskazać kierunek poszukiwań.

Bartosz Naskręcki przedstawił także rozwijający się model współpracy ludzi i agentów AI przy otwartych problemach matematycznych. W takich projektach wiele prób może być prowadzonych równolegle, a nowe pomysły i wyniki są szybko udostępniane całej społeczności. Taki sposób pracy może zmienić nie tylko tempo badań, lecz także sposób organizowania matematycznej współpracy.

Wykład prowadził więc do szerszego pytania o przyszłość matematyki: czy wraz z rozwojem AI matematycy będą coraz mniej zajmować się wykonywaniem pojedynczych kroków dowodów, a coraz bardziej projektowaniem języków, struktur i teorii, które pozwolą maszynom wykonywać tę pracę? Pytanie to pozostaje otwarte, ale jedno wydaje się już pewne – zmiana sposobu uprawiania matematyki już się rozpoczęła.

Akcja opery rozpoczyna się podczas IV Ogólnopolskiego Kongresu Genetycznego we Wrocławiu. Jej główny bohater, genetyk prof. Teodor Zaks, przedstawia podczas konferencji teorię dotyczącą możliwości rozpoznawania, przewidywania, a nawet kształtowania wyjątkowych ludzkich zdolności poprzez odpowiednią konfigurację genów. Poszukiwanie „genu doskonałości” prowadzi go jednak do konfrontacji z pytaniami o granice nauki, ludzkiej ambicji oraz cenę dążenia do ideału.

To właśnie tutaj świat opery spotkał się ze światem współczesnej nauki. „GenOM” stawia pytania o granice naukowego poznania, ludzkiej ambicji i dążenia do doskonałości. Czy wszystko, co można zmierzyć i przewidzieć, powinno być również poddane optymalizacji? Czy możliwość technicznego rozwiązania problemu oznacza, że powinniśmy to rozwiązanie zastosować? I wreszcie – czy doskonałość, którą można zaprojektować, rzeczywiście jest tym samym, czego jako ludzie pragniemy?

Pytania te nie pozostają jednak wyłącznie domeną świata przedstawionego w operze. Współczesna nauka coraz częściej dysponuje narzędziami, które pozwalają nie tylko opisywać i przewidywać złożone zjawiska, ale także coraz skuteczniej poszukiwać ich optymalnych rozwiązań. Dotyczy to również matematyki, w której sztuczna inteligencja zaczyna odgrywać coraz większą rolę w procesie rozwiązywania problemów i odkrywania nowych zależności.

W tym sensie spotkanie matematyków z „GenOM-em” tworzyło szczególnie ciekawy dialog. W operze naukowiec próbuje odnaleźć i zaprogramować biologiczną doskonałość. Współczesna matematyka staje natomiast przed pytaniem, co stanie się z ludzkim sposobem odkrywania, gdy coraz bardziej zaawansowane modele AI zaczną uczestniczyć w tworzeniu matematycznej wiedzy. W obu przypadkach powraca więc pytanie nie tylko o granice optymalizacji, lecz także o granice ludzkiego autorstwa: kto pozostaje autorem odkrycia, gdy człowiek wyznacza cel, ale droga do jego osiągnięcia zostaje odnaleziona przez system AI?

Co ciekawe, „GenOM” wyrasta z rzeczywistego spotkania nauki i sztuki – inspiracją dla libretta był wykład genetyka prof. Michała Witta „Geny a muzyka”. Wieczór w Operze stał się więc czymś więcej niż tylko wydarzeniem towarzyszącym konferencji. Był kolejnym sposobem rozmowy o nauce – tym razem za pomocą muzyki, teatru i współczesnego języka operowego.