Przedstawimy ogólne spojrzenie na różne poznane do tej pory struktury algebraiczne. Pokażemy jaką rolę odgrywają w nich kongruencje. Podamy metody rozwiązywania kongruencji liczbowych niektórych typów. Omówimy podobieństwa oraz różnice między teorią ciał i teorią przestrzeni liniowych skończonego wymiaru. Wykład zakończymy prezentacją podstaw teorii Galois.

Celem kursu jest zapoznanie słuchaczy z podstawowymi pojęciami algebry liniowej, niezbędnymi do studiowania większości przedmiotów matematycznych na studiach wyższych, jak również zastosowań matematyki w informatyce, fizyce, ekonomii i finansach oraz naukach technicznych. Słuchacze zapoznają się z podstawowymi pojęciami i twierdzeniami w zakresie liczb zespolonych, wielomianów jednej zmiennej i ich pierwiastków rzeczywistych i zespolonych, jak również rachunkiem macierzowym i wyznacznikami macierzy. Przedstawiona jest teoria układów równań liniowych, w tym twierdzenie Kroneckera-Capelli'ego i metody ich rozwiązywania, w tym algorytm Gaussa. Kurs obejmuje również elementy geometrii analitycznej w przestrzeni trójwymiarowej.

Celem kursu jest zapoznanie słuchaczy z podstawami teorii przekształceń liniowych, które mają szerokie zastosowania w takich dziedzinach nauki, jak informatyka, fizyka, ekonomia i finanse oraz nauki techniczne. Badane są takie pojęcia jak wartości własne i wektory własne przekształceń liniowych. Przedstawiona jest metoda sprowadzania macierzy przekształceń liniowych do postaci kanonicznej Jordana. Badane są formy dwuliniowe i kwadratowe oraz główne twierdzenia dotyczące sprowadzania form kwadratowych do postaci diagonalnej oraz ich dodatniej lub ujemnej określoności. Omówiona jest struktura przestrzeni liniowej z iloczynem skalarnym i procedura znajdowania baz ortogonalnych w takich przestrzeniach. Słuchacze poznają też podstawy teorii przekształceń liniowych na przestrzeniach liniowych z iloczynem skalarnym.

Celem kursu jest zapoznanie słuchaczy z podstawowymi metodami analizy wielowymiarowych danych dyskretnych. Część wykładów poświęcona jest weryfikowaniu hipotez dotyczących niezależności i warunkowej niezależności zmiennych losowych typu dyskretnego. Omawiane są również metody wyboru modelu log-liniowego z klasy modeli hierarchicznie uporządkowanych i z klasy modeli graficznych oraz ich interpretacja.

Celem kursu jest zapoznanie słuchaczy z podstawami analizy na przestrzeniach liniowych, zwłaszcza nieskończenie wymiarowych, wyposażonych w dodatkową strukturę, taką jak norma, iloczyn skalarny, topologia. Wprowadzone jest pojęcie przestrzeni Banacha, w której każdy ciąg fundamentalny jest zbieżny, podane są najważniejsze przykłady przestrzeni Banacha, jak również ich podstawowe własności. Badana jest postać funkcjonału liniowego na wybranych przestrzeniach Banacha. Przedstawiona jest struktura przestrzeni Hilberta, wraz z takimi pojęciami, jak baza ortonormalna, rzut ortogonalny i szereg Fouriera, jak również podstawowe twierdzenia ich dotyczące. Przedstawione są podstawy teorii ograniczonych operatorów liniowych na przestrzeniach Hilberta. Analiza funkcjonalna ma wiele zastosowań, zwłaszcza w teorii równań różniczkowych i całkowych, analizie numerycznej, teorii aproksymacji, rachunku wariacyjnym oraz geometrii nieprzemiennej, jak również w fizyce, zwłaszcza w mechanice klasycznej i kwantowej, kwantowej teorii pola i fizyce statystycznej, czy też w ekonomii, np. w matematyce finansowej.

Zarówno analiza funkcjonalna jak i topologia, są językami współczesnej matematyki. Oba działy powstawały mniej więcej w tym samym czasie, to znaczy na początku XX wieku. Celem kursu jest zaprezentowanie bardziej zaawansowanych pojęć i metod analizy funkcjonalnej z uwzględnieniem metod topologicznych. Słuchacze zapoznają się z klasycznymi twierdzeniami analizy funkcjonalnej oraz twierdzeniami i pojęciami topologii ogólnej, niezbędnymi do realizacji zakładanych celów.

Analiza harmoniczna to rozległy dział współczesnej analizy matematycznej wywodzący się z badań nad szeregami Fouriera, badań zapoczątkowanych w końcu XVIIi wieku. Celem kursu jest, przede wszystkim, zapoznanie się z podstawowymi pojęciami analizy harmonicznej, w szczególności z teorią szeregów Fouriera, oraz nabycie umiejętności tworzenia i analizy modeli matematycznych opisywanych metodami analizy harmonicznej w różnych działach matematyki, w szczególności w równaniach różniczkowych cząstkowych.

Celem tego kursu jest uzupełnienie wiedzy słuchaczy z teorii miary, analizy funkcjonalnej funkcji zespolonych i topologii, oraz zastosowanie jej do badania funkcji rzeczywistych, funkcji zespolonych, i zbiorów w przestrzeni euklidesowej. w pierwszej kolejności należy tu wymienić funkcje o wahaniu skończonym i funkcje absolutnie ciągłe. Słuchacze zapoznają się też z miarą i wymiarem Hausdorffa, i poznają ich wyliczanie dla pewnych zbiorów samopodobnych (fraktali). Ponadto, podane zostaną dodatkowe fakty z teorii funkcji zespolonych.

Analiza szeregów czasowych znajduje szerokie zastosowania do modelowania dynamiki czasowej zjawisk spotykanych w wielu obszarach, takich jak badania naukowe, przemysł czy analiza rynków finansowych. Podczas kursu słuchacze zdobędą niezbędną wiedzę teoretyczną dotyczącą podstawowych (stacjonarnych i niestacjonarnych) modeli szeregów czasowych (takich jak modele: AR, MA, ARMA, ARIMA i GARCH) oraz poznają najważniejsze metody wnioskowania statystycznego. Przedstawione zostaną m.in. zagadnienia związane z dopasowaniem modelu do danych, w tym: identyfikacja składowych regularnych (takich jak trend długoterminowy i sezonowość), estymacja parametrów modelu, wybór optymalnego rzędu i ocena poprawności dopasowania (diagnostyka modelu). Szczególna uwaga poświęcona zostanie również konstrukcji prognoz (predykcji) szeregów czasowych. Oprócz podstaw teoretycznych uczestnicy kursu będą mogli zdobyć praktyczne umiejętności, związane z budową modeli szeregów czasowych i konstrukcją prognoz dla danych rzeczywistych z różnych obszarów zastosowań, m.in. szeregów czasowych spotykanych w obszarach ekonomii i finansów.

Zagadnienia minimalizacji rzeczywistych funkcji wypukłych na zbiorach wypukłych posiadają wiele zastosowań praktycznych od ekonomii po różnorodne zagadnienia inżynierskie. Na podstawowym kursie analizy matematycznej każdy student dowiaduje się, że problemy takie sprowadzają się do rozwiązania pewnego układu (lub pewnych układów) równań, który otrzymuje się przez wyzerowanie pochodnych cząstkowych. w praktyce postać zarówno tych równań, jak i zbioru, na którym minimalizujemy, może bardzo utrudniać rozwiązanie konkretnych zadań optymalizacji. Celem kursu jest zapoznanie studentów z podstawowymi własnościami funkcji i zbiorów wypukłych, które można wykorzystywać w rozwiązywaniu tego typu problemów, a także z algorytmami numerycznymi umożliwiającymi ich rozwiązywanie w sposób zautomatyzowany.

Funkcje specjalne stanowią klasę funkcji, ważnych zarówno z teoretycznego jak i praktycznego punktu widzenia, które nie weszły do tradycyjnego „kanonu” funkcji elementarnych. Omówione będą: funkcja gamma Eulera, funkcja dzeta Riemanna, oraz różne funkcje specjalne pojawiające się przy rozwiązywaniu równań fizyki matematycznej, jak np. wielomiany Hermite’a, Laguerre’a i Jacobiego, czy funkcje Bessela. Słuchacze zapoznają się z podstawowymi własnościami tych funkcji, ich związkami z równaniami różniczkowymi, oraz ich asymptotyką. Kurs wykorzystuje metody analizy zespolonej oraz równań różniczkowych.

Celem kursu jest zapoznanie studenta ze współczesnymi metodami wyceny różnego rodzaju kontraktów terminowych. Omówiona zostanie szeroka gama egzotycznych instrumentów pochodnych, m.in. opcje zależne od czasu i trajektorii.

Ich wycena przeprowadzona zostanie zarówno poprzez wykorzystanie metod martyngałowych, jak i metod Monte Carlo. Wprowadzone zostaną również alternatywne modele rynków finansowych, m.in. model Gerbera-Shiu, model Hursta-Platena-Racheva, czy też modele samopodobne. Zostaną one porównane z klasycznym modelem Blacka-Scholesa.

Data mining, określany w języku polskim jako eksploracja danych lub pozyskiwanie wiedzy, to proces odkrywania ważnych i wcześniej nieznanych reguł, wzorców i współzależności dzięki przeszukiwaniu dużych ilości danych. W procesie eksploracji danych stosowane są zróżnicowane techniki, w szczególności metody statystyczne (analiza wielowymiarowa) oraz efektywne algorytmy uczenia maszynowego (ang. machine learning).

Kurs umożliwi słuchaczom poznanie podstawowych rodzajów zadań data mining a także zdobycie niezbędnej wiedzy na temat metod eksploracji danych (metod/algorytmów uczenia nadzorowanego i uczenia bez nadzoru). Omówione zostaną między innymi klasyczne i nowoczesne metody klasyfikacji, redukcji wymiaru oraz analizy skupień. Przedstawione zostaną także podstawowe algorytmy stosowane w odkrywaniu reguł asocjacyjnych. Uczestnicy kursu zapoznają się również z procedurami stosowanymi do oceny efektywności metod eksploracji danych.

Oprócz niezbędnej wiedzy teoretycznej uczestnicy kursu zdobędą również szerokie umiejętności praktyczne. Szczególny nacisk położony jest na umiejętność zastosowania zdobytej wiedzy do rozwiązywania zagadnień praktycznych z różnych dziedzin nauki, techniki i ekonomii.

Celem kursu jest przedstawienie metod wnioskowania statystycznego w przypadku, gdy rozmiar próby losowej nie jest z góry ustalony, a jest zmienną losową zależną od przebiegu dotychczasowych zdarzeń. Między innymi omawiany jest sekwencyjny test ilorazowy, który ma szerokie zastosowania w medycynie oraz test CUSUM, który stosuje się w kontroli jakości, a ostatnio również w matematyce finansowej.

Celem kursu jest przedstawienie wybranych metod wnioskowania statystycznego dla najważniejszych modeli procesów punktowych, procesów dyfuzyjnych oraz pól losowych.

Uczestnik kursu zdobędzie między innymi podstawową wiedzę na temat estymacji funkcji intensywności i skumulowanej funkcji intensywności w modelu multiplikatywnym procesów punktowych (estymatory Ramlau-Hansena i Nelsona-Aalena) oraz nieparametrycznej estymacji dystrybuanty rozkładu w warunkach cenzurowania obserwacji (estymator Kaplana-Meiera). Przedstawione zostaną również zagadnienia dotyczące zastosowania metody sita (odpowiednik metody największej wiarogodności) dla procesów punktowych i procesów dyfuzyjnych. Ponadto omówione będą podstawowe modele liniowej regresji i autoregresji pól losowych. Oprócz niezbędnej wiedzy teoretycznej uczestnicy kursu zdobędą również umiejętności praktyczne, związane z zastosowaniem poznanych metod w analizie danych rzeczywistych i weryfikacją ich własności na podstawie symulacji komputerowych.

Celem kursu jest zapoznanie słuchaczy z podstawowymi metodami wnioskowania statystycznego dotyczącymi kwantyli rozkładu, w szczególności mediany rozkładu. Przedstawiane są metody estymacji punktowej i przedziałowej kwantyli w modelach parametrycznych i nieparametrycznych, jak również testy do weryfikacji hipotez dotyczących mediany rozkładu. Omawiane zagadnienia mają szczególne zastosowania w przypadku, gdy nie istnieje wartość oczekiwana rozkładu obserwowalnej zmiennej losowej.

Wycena martyngałowa instrumentów pochodnych, szczególnie różnego rodzaju opcji. Konstrukcja portfeli replikujących, strategii zabezpieczających oraz analiza wrażliwości instrumentów pochodnych. Krótkoterminowe modele stóp procentowych.

Uczestnik kursu zdobędzie podstawową wiedzę teoretyczną oraz praktyczną w zakresie symulacji najistotniejszych, z punktu widzenia zastosowań, procesów stochastycznych. W pierwszej części kursu przedstawione zostaną ogólne metody generowania realizacji stabilnych zmiennych losowych, a następnie procesów stabilnych. W kolejnych krokach omówione zostaną procesy stacjonarne oraz samopodobne, z naciskiem na własność długiej pamięci. Kurs zakończy się przedstawieniem praktycznych zastosowań poznanych metod do analizy danych empirycznych.

Obiektem teorii ergodycznej są iteracje mierzalnych przekształceń przestrzeni miarowej w siebie. Przedstawiają one przemieszczanie się punktu w dyskretnych odstępach czasowych. Jeśli przekształcenia są niesingularne (tzn. zachowują zbiory miary zero) to głównym zagadnieniem jest własność wielokrotnego powrotu punktu do zbioru (konserwatywność) lub rozproszenia (dyssypatywność). W przypadku gdy przekształcenie zachowuje skończoną równoważną miarę , rozważa się częstotliwość pojawiania się punktu w zbiorze. Ze zjawiskiem powrotu związane są własności mieszające przekształcenia . Student uzyskuje umiejętność analizowania iteracji przekształceń na podstawie twierdzeń oraz przykładów. W szczególności omawiana jest klasa kawałkami monotonicznych przekształceń odcinka . Wśród wielu zastosowań tych przekształceń jest między innymi potwierdzenie chaotyczności trajektorii stanowiącej rozwiązanie układu Lorenza modelującego zjawisko konwencji termicznej w atmosferze. Teoria ergodyczna w swoich metodach sięga do wielu dziedzin matematyki i dlatego do zrozumienia wykładu potrzebna jest znajomość analizy funkcjonalnej i topologii.

Kurs umożliwi słuchaczom zapoznanie się z nieparametrycznymi metodami wnioskowania statystycznego, znajdującymi zastosowanie m.in. w zagadnieniach estymacji nieznanej funkcji gęstości prawdopodobieństwa, funkcji hazardu czy funkcji regresji. w szczególności omówiona zostanie: estymacja typu plug-in, algorytm loess, estymatory jądrowe (różne warianty) oraz estymacja w oparciu o układy ortonormalne. Szczególna uwaga poświęcona zostanie również metodzie bootstrap, aktualnie jednej z najczęściej stosowanych metod symulacyjnych w badaniach statystycznych. Przedstawione zostaną różne warianty algorytmu bootstrap a także jego zastosowania do oceny dokładności estymacji (m.in. szacowania obciążenia i wariancji estymatorów) oraz do konstrukcji przedziałów ufności. Oprócz niezbędnej wiedzy teoretycznej uczestnicy kursu zdobędą również umiejętności praktyczne, związane z zastosowaniem poznanych metod wnioskowania statystycznego w analizie danych rzeczywistych i weryfikacją ich własności na podstawie symulacji komputerowych.

Celem kursu jest zapoznanie słuchaczy z metodami oraz algorytmami numerycznymi zaliczanymi do takich działów współczesnej matematyki i finansów, jak matematyka finansowa (ang. financial mathematics), inżynieria finansowa (ang. financial engineering), finanse obliczeniowe (ang. computational finance) czy finanse ilościowe (ang. quantitative finance). Omówione zostaną trzy podstawowe klasy metod służących do wyceny i zarządzania portfelem instrumentów pochodnych:

(1) wzory analityczne typu Blacka-Scholesa (podejście martyngałowe, równania różniczkowe cząstkowe),

(2) drzewka i schematy różnicowe

(3) oraz symulacje Monte Carlo.

Przedstawione zostaną również ich mocne i słabe strony. Uczestnicy kursu uzyskają solidne podstawy do dalszego rozwijania się w kierunku inżynierii finansowej i przyszłej kariery w sektorze finansowym.

Proces stochastyczny to rodzina zmiennych losowych, często indeksowana czasem. Na kursie omówimy m.in. łańcuchy Markowa z czasem dyskretnym i ciągłym, proces Poissona i proces Wienera. Te procesy losowe wychodzą daleko poza założenie niezależności i są podstawą realistycznych modeli opisujących zjawiska ewolucyjne w naukach fizycznych, biologicznych, ekonomicznych i społecznych, np. ruchy Browna. Poznamy m.in. rozkłady graniczne łańcuchów Markowa, konstrukcję i rachunek prawdopodobieństw dla procesu Poissona, opis eksplozji demograficznej dla procesów urodzin i prawo iterowanego logarytmu dla procesu Wienera.

Kurs wykorzystuje metody analizy matematycznej, algebry liniowej, równań różniczkowych oraz teorii prawdopodobieństwa i wymaga zaawansowanych umiejętności w tych zakresach.

Uczestnik kursu powinien zdobyć podstawową wiedzę teoretyczną i umiejętności obliczeniowe dotyczące procesów Markowa i martyngałów a także ich niektórych zastosowań, np. do rozwiązywania problemu Dirichleta.

Kurs stanowi podstawę dla wykładów i laboratoriów na Ii stopniu kształcenia, np. dla kursów Procesy stochastyczne, Wstęp do matematyki finansów oraz Statystyka procesów stochastycznych i pól losowych.