Opus to najpopularniejszy konkurs w ofercie Narodowego Centrum Nauki. Nie ma w nim ograniczeń co do zaawansowania kariery kierownika projektu, stopnia czy tytułu naukowego lub doświadczenia w prowadzeniu badań. Uczestnicy mogą składać wnioski obejmujące krajowe projekty badawcze, projekty z udziałem partnerów zagranicznych lub z wykorzystaniem przez polskie zespoły wielkich międzynarodowych urządzeń badawczych. Pozyskanie grantu w tej edycji nie było łatwe, wpłynęło aż 2184 wniosków, a finansowanie przyznano 176 badaczom. W gronie wyróżnionych znalazło się 10 osób z Politechniki Wrocławskiej. Jednym z laureatów konkursu prof. Michał Ryznar, który rozpoczyna realizację grantu pt. „Nielokalne, anizotropowe równania eliptyczne”.
Teoria eliptycznych równań różniczkowych cząstkowych jest bogatą i dobrze poznaną teorią matematyczną mającą wiele zastosowań np. w elektrostatyce, mechanice ośrodków ciągłych, hydrodynamice, teorii dyfuzji, teorii optymalnego transportu, optyce geometrycznej czy nierównowagowej fizyce statystycznej.
W ciągu ostatnich 25 lat nielokalne równania dla ułamkowego laplasjanu i innych nielokalnych operatorów były intensywnie badane przez probabilistów i matematyków zajmujących się równaniami różniczkowymi. – Teoria równań nielokalnych ma liczne zastosowania, np. w mechanice kwantowej, rozpoznawaniu obrazów, mechanice statystycznej, meteorologii i finansach – wyjaśnia prof. Michał Ryznar. – Ostatnio dużym zainteresowaniem cieszą się nielokalne, anizotropowe operatory eliptyczne pojawiające się w naturalny sposób jako generatory rozwiązań stochastycznych równań różniczkowych z szumem będącym skokowym procesem stochastycznym Lévy'ego w R d z niezależnymi składowymi.
Celem projektu prowadzonego przez prof. Ryznara jest zbadanie istnienia jednoznaczności i własności rozwiązań dla zagadnień brzegowych dla nielokalnych anizotropowych równań eliptycznych na obszarach w R d. – W szczególności interesują nas oszacowania rozwiązań powyższych zagadnień brzegowych, oraz oszacowania pochodnych tych rozwiązań – wyjaśnia badacz z W13. – Planujemy zbadać jądra ciepła Dirichleta, funkcje Greena i jądra Poissona dla nielokalnych anizotropowych operatorów eliptycznych na różnych obszarach w R d. Zamierzamy również badać równanie Schrödingera oparte na pewnym relatywistycznym hamiltonianie pojawiającym się w książce Lieba i Seiringera ”The stability of matter in quantum mechanics”.
Dalekosiężnym zamierzeniem grupy prof. Ryznara jest przyczynienie się do zbudowania teorii nielokalnych równań eliptycznych podobnej do klasycznej teorii eliptycznych równań różniczkowych.