Dr hab. inż. Łukasz Płociniczak, prof. uczelni otrzymał w ramach konkursu Sonata Bis ponad milion złotych na realizację na projektu pt. „Metody numeryczne dla nielokalnych i nieliniowych równań parabolicznych”. Jego celem jest stworzenie nowych metod numerycznych służących do rozwiązywania zagadnień nielokalnych i ścisła analiza ich zbieżności oraz stabilności.

W ostatnich latach uczeni z całego świata odkrywają, że wiele zjawisk w fizyce, medycynie czy ekonomii odbywa się w sposób nielokalny. To znaczy, że ich stan w danej chwili oraz w danym punkcie przestrzeni może zależeć od całej ich historii oraz od tego co dzieje się w odległych obszarach przestrzeni. Dodatkowo ewolucja badanego procesu może być silnie zależna od jego stanu, co prowadzi to do tak zwanych nieliniowości. Przykładowo w niektórych nowoczesnych materiałach porowatych wilgotność ośrodka w istotny sposób zależy zarówno od tego, jak w przeszłości wyglądała ewolucja frontu wody oraz od stopnia niejednorodności materiału. Ważnymi modelami matematycznymi powyższych zjawisk są nielokalne równania różniczkowe. Ich rozwiązania numeryczne są   czasochłonne i skomplikowane co będzie wyzwaniem podczas realizacji grantu.

Projekt jest bardzo mocno związany z zastosowaniami matematyki w wymienionych powyżej dziedzinach nauki. Jego istotą będzie zaprojektowanie oraz analiza szeregu metod numerycznych służących rozwiązywaniu nieliniowych i nielokalnych równań różniczkowych. Główną trudnością jest wybór odpowiedniej dyskretyzacji badanego zagadnienia oraz udowodnienie zbieżności tak otrzymanego algorytmu. Dyskretyzacja zwykle polega na zrzutowaniu równania na skończenie wymiarową przestrzeń funkcyjną. Dzięki temu możliwe jest zaprojektowanie przepisu na rozwiązanie przybliżone, które można otrzymać na komputerze. Kluczowym zadaniem w projekcie jest pokazanie, że tak otrzymane przybliżenie jest dostatecznie bliskie temu dokładnemu. Jest to o tyle trudne, że nie znamy zwartej postaci tego ostatniego, równania się nieliniowe oraz, przede wszystkim, nielokalne.

Nad zadaniami w tym pięcioletnim projekcie będzie pracował zespół pięciu osób złożony z doktorantów oraz bardziej doświadczonych badaczy w ścisłej współpracy z matematykami m.in. z Hiszpanii.