Narodowe Centrum Nauki w programie Opus przyznało trzy granty pracownikom naszego Wydziału, przyznano je dr. hab. inż. Tomaszowi Grzywnemu, dr hab. inż. Mateuszowi Kwaśnickiemu oraz w ramach najnowszej edycji Opus 26 prof. Zbigniewowi Palmowskiemu.
Tomasz Grzywny z Katedry Matematyki rozpoczyna realizację projektu „Ewolucje markowskie: rozkłady prawdopodobieństwa oraz ich zastosowania”, który będzie poświęcony badaniu rozkładów w niektórych ewolucjach Markowa i ich zastosowaniach w analizie i fizyce.
– W ramach tego tematu badawczego przeanalizujemy proces stochastyczny, który ewoluuje jak zadany proces Markowa pomiędzy sygnałami poissonowskim, a w momencie przyjścia kolejnego sygnału proces ulega częściowemu lub całkowitemu zresetowaniu (jego aktualne położenie jest pomnożone przez zadany współczynnik mniejszy niż 1) – mówi prof. Tomasz Grzywny.
Proces ten ma różne zastosowania, na przykład pojawia się jako skalowanie granicy płynności dla niektórych modeli kolejek (z dwumianowymi wskaźnikami katastrof) stosowanych w modelowaniu wzrostu populacji poddanej łagodnym katastrofom. Takie procesy można traktować jako szczególny przykład tzw. modelu szumu śrutowego, który jest wykorzystywany w modelach trzęsień ziemi i warstw materiału osadowego nagromadzonych w środowiskach depozycyjnych, ale nie poddanych późniejszej erozji. Może również modelować lawiny lub wyładowania neuronowe.
– W projekcie planujemy się skupić na analizowaniu tzw. zjawiska braku równowagi stanu stacjonarnego (NESS). Zjawisko to jest bardzo ważne w badaniu asymptotycznego zachowania ewolucji. Ponadto zamierzamy zbadać stabilność oszacowań gęstości przejścia pewnej klasy procesów Markowa na zaburzenia miary skoków. W szczególności planujemy sprawdzić stabilność podporządkowanego procesu Dunkla subordynatorem stabilnym – wyjaśnia naukowiec.
Mateusz Kwaśnicki z Katedry Matematyki otrzymał dofinansowanie na badania na temat „Operatory ciągłe i dyskretne w teorii spektralnej oraz analizie harmonicznej”.
Projekt dotyczy dwóch obszarów matematyki, w których przypadek struktur ciągłych jest dość dobrze zbadany, natomiast teoria zmiennej dyskretnej ma wiele luk. Pierwsza część związana jest z teorią spektralną operatorów Toeplitza, czyli (skończonych lub nieskończonych) macierzy postaci (ai – j).
– Jednym z badanych zagadnień będzie hipoteza Widoma, dotycząca warunków zbieżności wartości własnych skończonych macierzy Toeplitza do widma macierzy nieskończonych. Uzyskane rezultaty planujemy zastosować w badaniu błądzeń losowych – mówi prof. Mateusz Kwaśnicki.
Drugi temat projektu to oszacowanie norm operatorów całek singularnych i ich dyskretyzacji, czyli badanie podstawowych obiektów w analizie harmonicznej. Wykorzystane metody będą rozwinięciem probabilistycznej techniki opracowanej we współpracy z Rodrigiem Bañuelosem z Purdue University na potrzeby analizy dyskretnej transformaty Hilberta.
– Pytania podnoszone w ramach projektu są częścią bardzo aktywnych dziedzin matematyki teoretycznej. Oczekujemy, że wyniki projektu znacząco poszerzą naszą wiedzę w zakresie teorii spektralnej operatorów nienormalnych i poprawią nasze rozumienie wzajemnych związków między dyskretną i ciągłą analizą harmoniczną, a być może otworzą też nowe kierunki badań – podkreśla naukowiec.
Prof. Zbigniew Palmowski z Katedry Matematyki Stosowanej przyznano dofinansowanie na projekt „Resetowanie: procesy Lévy'ego, błądzenia losowe, gałązkowe błądzenia losowe i ich funkcjonały”.
– W ramach tego projektu planujemy analizę procesu stochastycznego z resetowaniem zdefiniowanego jako losowy proces pomiędzy pewnymi momentami, w których jest stosowany mechanizm resetujący. Taki mechanizmem może polegać na przesunięciu procesu do określonego punktu w przestrzeni na przykład poprzez pomnożenie obecnej pozycji przez pewną ustaloną liczbę – mówi prof. Zbigniew Palmowski.
Resetowanie stochastyczne jest powszechnie stosowane w nowoczesnych technologiach oraz jest często obecne w przyrodzie. Występuje w wielu modelach pojawiających się m.in. w biologii, fizyce, naukach aktuarialnych, teorii kolejek, matematyce finansowej, zastosowaniach inżynieryjnych. Szczególnym przykładem jest wykorzystywanie tego mechanizmu w algorytmie AIMD do modelowania protokołu transmisji danych. Temat resetowania znalazł się ostatnio w centrum uwagi z powodu losowych strategii wyszukiwania, gdy wcześniejsze informacje o lokalizacji celu nie są dostępne.
Resetowanie pojawia się także w granicznych modelach kolejkowych z tzw. katastrofami używanymi w modelowaniu populacyjnym. Takie procesy są też używane w modelowaniu trzęsień ziemi, lawin, mikroubezpieczeń lub w modelowaniu zachowania neuronów. Inne zastosowania stochastycznego resetowania zostały również uwzględnione w kontekście polimerazy RNA, zmienności enzymatycznej, termodynamiki i mechaniki kwantowej.
– W ramach projektu planujemy zrozumieć zagadnienia związane z nierównowagowymi stanami stacjonarnymi, rozkładami quasi-stacjonarnymi, czasami wyjścia, tzw. uporczywością procesu czy też zasięgiem procesów gałązkowych, kiedy stosuje się mechanizm resetowania – wyjaśnia naukowiec.
W aktualnościach PWr opisano pozostałe projekty realizowane przez badaczy z innych Wydziałów.
Dziewieć grantów Opus i Preludium dla naszych naukowców
Program Opus: miliony na badania dla naukowców z PWr od NCN
Wszystkim gratulujemy i życzymy uzyskania spektakularnych wyników.